Wenn man sich auf eine Klausur ohne Taschenrechner vorbereitet kommt man immer wieder in Situationen, die mit Rechner einfach trivial wären, ohne Rechner aber kurz innehalten lassen. Dazu gehört z.b. alles was mit dem Arctan zu tun hat. Ich kenn den Sinus und Kosinus auswendig, den Tangens einigermaßen, aber beim Arctan hört es einfach (noch...) auf. Ebenfalls gar nicht so leicht: Zwei Brüche vergleichen und entscheiden, welcher denn nun größer ist. Bei 1/3 und 1/4 sollte es auf einen Blick zu sehen sein, was ist aber mit 4/7 und 10/17? Wie kann man schnell ohne Taschenrechner bestimmen, welcher der beiden Brüche größer ist?

Nach bisschen überlegen ist mir eine ganz gute Möglichkeit in den Sinn gekommen. Man stellt einfach eine Ungleichung auf und behauptet damit z.b., a > b. Diese Gleichung formt man dann um, bis eine eindeutige Aussage dasteht. War die ursprüngliche Annahme richtig, steht was Wahres da. War die ursprüngliche Annahme falsch, dann gibt es was falsches.

Beispiel gefällig? Welcher Bruch ist größer, 4/7 oder 10/17? Ich vermute mal 10/17. Also heißt die Ungleichung:

Die wird jetzt einfach umgeformt. Mit 17 und 7 durchmultipliziert ergibt

10 * 7 > 4 * 17

Und das ist einfach

70 > 68

Diesen Ausdruck können wir auswerten, 70 ist größer als 68, die Ungleichung ist wahr. Damit war die ursprüngliche Annahme ebenfalls wahr. Hätten wir in der Ungleichung zu Beginn die andere Annahme getroffen, dann würde die Rechnung am Schluss "falsch" ergeben. Das hilft uns genau so weiter. Diese recht elegante Rechnung hilft also schnell beim Vergleichen von Brüchen weiter.

Ach ja:
10/17 = 0,58...
4/7 = 0,57...